Principia mathematica

Principia mathematica es una obra en tres volúmenes escrita por Bertrand Russell y Alfred North Whitehead, publicada entre 1910 y 1913, que se propone fundamentar las matemáticas a partir de la lógica. Fue concebida como continuación de Los principios de las matemáticas (1903), de Russell, aunque la idea de un segundo volumen de ese libro resultó inviable por razones prácticas y filosóficas. En la segunda edición, de 1925 a 1927, se añadieron una nueva introducción y apéndices que modificaban algunos planteamientos.

Los autores perseguían tres objetivos declarados: analizar en la mayor medida posible las ideas y métodos de la lógica matemática, reduciendo al mínimo el número de nociones primitivas, axiomas y reglas de inferencia; expresar las proposiciones matemáticas con una notación simbólica precisa; y resolver las paradojas que afectaban a la lógica y a la teoría de conjuntos a comienzos del siglo XX, como la paradoja de Russell. Para esto último adoptaron una elaborada teoría de tipos, que impone restricciones gramaticales a las fórmulas y excluye la formación libre de clases o funciones que conduce a contradicciones.

El trabajo cubre la teoría de conjuntos, los números cardinales, los ordinales y los reales, sin llegar a teoremas más profundos del análisis. Hacia el final del tercer volumen quedó claro que buena parte de las matemáticas conocidas podía, en principio, desarrollarse en ese formalismo, aunque el proceso habría sido extraordinariamente largo. Un cuarto volumen sobre los fundamentos de la geometría fue planificado, pero nunca se escribió.

La obra tuvo una enorme influencia. Popularizó la lógica simbólica y demostró su potencia como herramienta para analizar el razonamiento matemático. Su programa, conocido como logicismo, fue cuestionado por la paradoja de Russell misma y, sobre todo, por los teoremas de incompletitud de Kurt Gödel publicados en 1931, que mostraron que un sistema así, incluso en su parte aritmética básica, no puede ser a la vez consistente y completo. Pese a ello, el libro sigue siendo un hito de la historia de la lógica y de la filosofía de las matemáticas, y The Modern Library lo situó en el puesto 23 entre los cien mejores libros de no ficción en inglés del siglo XX.