Los fundamentos de la aritmética

Los fundamentos de la aritmética es un libro de Gottlob Frege publicado en 1884, en el que se investiga el fundamento filosófico de la aritmética. Frege busca responder a una pregunta de herencia kantiana: cómo nos son dados los números si no tenemos ninguna idea ni intuición de ellos. Para ello parte de un principio de contexto, según el cual las palabras solo tienen significado en el marco de una proposición, y a partir de ahí intenta definir el sentido de las proposiciones en las que aparecen términos numéricos. Un problema que tradicionalmente se había resuelto por vías idealistas pasa así a plantearse en términos lingüísticos.

El libro se abre con una crítica de las explicaciones psicologistas de las matemáticas, que sostienen que los números dependen de los pensamientos subjetivos de quienes los piensan. Frege defiende que las matemáticas son objetivas y que la lógica, y en su opinión también las matemáticas, explican hechos necesarios, mientras que la psicología estudia procesos de pensamiento en mentes individuales. Discute también con Immanuel Kant, al que admira, pero a quien reprocha que considere sintéticas las verdades aritméticas: Frege sostiene que la aritmética es analítica a priori, aunque reconoce que la geometría sí es sintética a priori. Del mismo modo, cuestiona el empirismo de John Stuart Mill, en especial su idea de que los números corresponden a formas de dividir colecciones de objetos, algo que para Frege no da cuenta de cálculos con cifras grandes ni del concepto de cero.

Para desarrollar su propia concepción, Frege distingue entre afirmaciones numéricas particulares, como 1 + 1 = 2, y afirmaciones generales, como a + b = b + a, y concluye que hace falta una definición del concepto de número en sí. Muestra que los números funcionan en el lenguaje natural como adjetivos, pero defiende que son objetos, de modo que las afirmaciones numéricas son, en realidad, afirmaciones sobre conceptos. Propone definir los números como extensiones de conceptos, aunque expresa algunas dudas sobre esa definición. El libro incluye también su célebre objeción de Julio César, según la cual una buena teoría debería poder explicar por qué Julio César no es un número.

La obra no tuvo buena acogida ni fue muy leída en su momento, pero atrajo la atención de Bertrand Russell y Ludwig Wittgenstein, muy influidos por Frege. Su importancia es considerable: contribuyó a la orientación logicista de los trabajos posteriores de Frege y a los fundamentos de las matemáticas, influyó en obras como los Principia Mathematica y se considera un punto de partida de la filosofía analítica y de la filosofía de las matemáticas. Russell encontró después un defecto grave en la Ley Básica V de Frege, conocido como la paradoja de Russell, que más tarde se resolvió con la teoría axiomática de conjuntos.