La Géométrie

La Géométrie fue publicada en 1637 como apéndice del Discurso del método de René Descartes. Junto a La Dioptrique y Les Météores, formaba un conjunto de ensayos que ilustraban, con ejemplos concretos, los logros alcanzados mediante el método que el autor proponía en el Discurso. Descartes la escribió en francés, y no en latín, la lengua habitual de las publicaciones académicas de su tiempo, lo que favoreció su difusión entre un público más amplio.

La obra se divide en tres libros. El primero, titulado Problemas que pueden construirse solo con círculos y rectas, introduce una notación algebraica muy parecida a la actual: las últimas letras del alfabeto designan incógnitas y las primeras, constantes. Descartes adopta también la notación exponencial para las potencias, aunque conserva la forma tradicional para los cuadrados, y rompe con la herencia griega que asociaba las potencias a áreas o volúmenes, tratándolas todas como longitudes de segmentos. Gracias a ello puede relacionar números con segmentos construibles con regla y compás. Buena parte de este libro se dedica a resolver los llamados problemas del lugar geométrico de Pappo, en los que aparece el germen de lo que después se llamaría sistema de coordenadas cartesianas.

El segundo libro, Sobre la naturaleza de las líneas curvas, distingue entre curvas geométricas, que pueden expresarse mediante ecuaciones algebraicas de dos variables, y curvas mecánicas, como la cuadratriz o la espiral, que Descartes consideraba inadecuadas para el estudio matemático. Propone además un método algebraico para hallar la normal en cualquier punto de una curva conocida, y de ahí deduce la construcción de tangentes.

El tercer libro, dedicado a los problemas sólidos y supersólidos, trata sobre la naturaleza de las ecuaciones y su resolución. Descartes recomienda reunir todos los términos en un miembro e igualar a cero, enuncia una versión intuitiva del teorema del factor y examina sistemáticamente las raíces negativas e imaginarias, empleando lo que hoy se conoce como regla de los signos de Descartes.

El estilo de la obra es deliberadamente escueto: los métodos se indican más que demostrarse, y muchos detalles quedan para el lector. Por ello su comprensión fue difícil. Fue Frans van Schooten, profesor en Leiden, quien preparó una edición latina en 1649 y, sobre todo, la de 1659–1661, ampliada con explicaciones y ejemplos de él y sus discípulos. Estas ediciones consolidaron la geometría analítica en el siglo XVII, y su influencia alcanzó después a Newton y Leibniz en el desarrollo del cálculo.